Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即可求a的值；
（2）f（x）=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，即可求其最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴$\frac{{4}^{-x}+a}{{2}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}+a}{{2}^{x}}$，
∴a=1；
（2）f（x）=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
x=0時，函數(shù)的最小值為2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．