Question

4．設函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）若f（0）=0時，求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）≥c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，由題意可得f′（1）=0，f′（2）=0，解方程可得a，b，又c=0，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出導數(shù)，求得單調區(qū)間，可得f（x）的極值，求得端點的函數(shù)值，即可得到區(qū)間[0，3]上的最大值，可得c的不等式，解得即可得到c的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因為函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f′（1）=0，f′（2）=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=4．        
又因為f（0）=0，所以c=0，
所以f（x）=2x³-9x²+12x；                           
（2）由（1）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，2）時，f′（x）＜0；當x∈（2，3）時，f′（x）＞0．
所以，當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c
則當x∈[0，3]時，f（x）的最小值為f（0）=8c．           
因為對于任意的x∈[0，3]，有f（x）≥c²恒成立，所以8c≥c²，解得0≤c≤8，
因此c的取值范圍為[0，8]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯題．