Question

9．如圖，四面體ABCD的各棱長(zhǎng)均為a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：線段EF是異面直線AB與CD的公垂線段；
（2）求異面直線AB與CD的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AF，BF，證明EF與AB，CD垂直且相交，即可得出結(jié)論；
（2）在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可求出所求．

解答 （1）證明：連結(jié)AF，BF．
由△ACD，△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∴AF=BF．
又E為CD的中點(diǎn)，
∴EF⊥AB．
同理，EF⊥CD．
又EF與AB，CD都相交，故線段EF是異面直線AB與CD的公垂線段．
（2）在Rt△AEF中，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AE=$\frac{1}{2}$a，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
故異面直線AB與CD的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查異面直線公垂線的證明、距離的計(jì)算，比較基礎(chǔ)．