Question

12．如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D、E分別為ABCD的中點(diǎn)，AE的延長線交CB于點(diǎn)F．現(xiàn)將△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，連接AF．
（1）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（2）當(dāng)二面角A-CD-B為直二面角時，求直線AB與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通過折起后AE⊥CD、EF⊥CD，及面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）過B作EF的延長線的垂線交EF于O點(diǎn)，連結(jié)OA，則∠BAO就是直線AB與平面AEF所成的角．通過余弦定理及勾股定理可得AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，在Rt△ABO中利用sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$計算即可．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，∠CAD=60°，∴AD=CD=DB，
又E是CD的中點(diǎn)，得AE⊥CD，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CDB，∴平面AEF⊥平面CBD；
（2）解：由（1）知CD⊥平面AEF，
過B作EF的延長線的垂線交EF于O點(diǎn)，連結(jié)OA，
∴OB∥CD，∴OB⊥平面AEF，
∴∠BAO就是直線AB與平面AEF所成的角．
設(shè)AC=a，在△CDB中，∠DCB=30°，CE=$\frac{a}{2}$，CB=$\sqrt{3}$a，
∴EB²=CE²+CB²-2CE•CB•cos∠DCB=$\frac{7{a}^{2}}{4}$，
又AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴AB=$\sqrt{\frac{7{a}^{2}}{4}+\frac{3{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
又CF=$\frac{\frac{a}{2}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∴BF=$\sqrt{3}$a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asin60°=a，
∴sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直線AB與平面AEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查空間中面面垂直的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．