Question

10．已知函數(shù)p（x）=lnx+1，q（x）=e^x，若q（x₁）=p（x₂）成立，則x₂-x₁的最小值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象得出a＞0，y=a，a=lnx₂+1，x₂=e^a-1，a=e${\;}^{{x}_{1}}$，x₁=lna，構造函數(shù)g（a）=e^a-1-lna，a＞0，利用導數(shù)判斷單調性，求解最小值即可．

解答 解：∵根據(jù)圖形得出：a＞0，y=a，a=lnx₂+1，x₂=e^a-1，a=e${\;}^{{x}_{1}}$，x₁=lna，
∴x₂-x₁=g（a）=e^a-1-lna，a＞0，
∵g′（a）=e^a-1$-\frac{1}{a}$在（0，+∞）單調遞增，
g（1）=0，g（x）＞0，x＞1；g（x）＜0，x＜1，
∴g（x）在（1，+∞）單調遞增，在（-∞，1）單調遞減，
g（x）的最小值為g（1）=e^1-1-ln1=1，
∴x₂-x₁的最小值為1，



故答案為：1

點評 本題考查了函數(shù)的圖象的運用，數(shù)形結合的思想，構造函數(shù)，利用函數(shù)的思想求解最近距離問題，考查了學生解決問題的能力，屬于中檔題．