Question

20．如圖，三個(gè)半徑都是5cm的小球放在一個(gè)半球面的碗中，三個(gè)小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則這個(gè)碗的半徑R是5$+\frac{5\sqrt{21}}{3}$cm．

Answer 1

分析 根據(jù)三個(gè)小球和碗的相切關(guān)系，作出對(duì)應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到碗的半徑．

解答 解：解：分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖：
則俯視圖中，球心O（也是圓心O）是三個(gè)小球與半圓面的三個(gè)切點(diǎn)的中心，
∵小球的半徑為5cm，
∴三個(gè)球心之間的長度為10cm，
即OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×10=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$cm．，
在正視圖中，球心B，球心O（同時(shí)也是圓心O），
和切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，
則OA²+AB²=OB²，
其中OB=R-5，AB=5，
∴（$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）²+5²=（R-5）²
即$\frac{175}{3}$=（R-5）²
∴R-5=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$，
R=5+$\frac{5\sqrt{21}}{3}$cm．
故答案為：5$+\frac{5\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球的相切問題 的計(jì)算，根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大