Question

8．如圖，已知圓O上的弦AC=BD，過點C作圓O的切線與BA的延長線相交于點E
（1）求證：∠ACE=∠BCD；
（2）若BE=9，CD=1，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由同圓中等圓弧的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出證明．
（2）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，即可求出BC．

解答 （1）證明：∵弦AC=BD，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC為圓的切線，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）解：∵EC為圓的切線，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，
∴BC²=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．

點評 熟練掌握同圓中等圓弧的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．