Question

18．已知圓O：x²+y²=r²（r＞0），與y軸交于M、N兩點(diǎn)且M在N的上方．若直線y=2x+$\sqrt{5}$與圓O相切．
（1）求實(shí)數(shù)r的值；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足PM=$\sqrt{3}$PN，求△PMN面積的最大值．
（3）設(shè)圓O上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA、MB的斜率之積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．試探究直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線和圓相切的條件：d=r，計(jì)算即可得到r=1；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得P的軌跡為圓，可得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大值為$\sqrt{3}$，再由三角形的面積公式可得最大值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，運(yùn)用直線的斜率公式計(jì)算即可得到m的值，進(jìn)而判斷直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)．

解答 解：（1）∵直線y=2x+$\sqrt{5}$與圓O相切，
∴圓心O（0，0）到直線2x-y+$\sqrt{5}$=0的距離為d=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=1
∴r=1； 
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)M（0，1），N（0，-1），MN=2；
∵PM=$\sqrt{3}$PN，
∴x²+（y-1）²=3[x²+（y+1）²]，即x²+y²+4y+1=0，
∴點(diǎn)P在圓心為（0，-2），半徑為$\sqrt{3}$的圓上，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大值為$\sqrt{3}$，
∴△PMN的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．                  
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，
①若直線AB的斜率不存在，則x₁=x₂，y₁=-y₂，則
k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{-{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{1-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$=1
與直線MA、MB的斜率之積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$矛盾；
②設(shè)直線AB：y=kx+m，則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
∴（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∵k_MA•k_MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{2m}{1+{k}^{2}}+1}{\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
化簡得：$\frac{m-1}{m+1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得m=2+$\sqrt{3}$，
∴直線AB過定點(diǎn)（0，2+$\sqrt{3}$）．
綜上：直線AB過定點(diǎn)（0，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相切和相交，考查圓的方程的求法和直線方程聯(lián)立圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，屬于中檔題．