Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²+ax+b，g（x）=x³+$\frac{7}{2}$x²+lnx+b，（a，b為常數(shù)）
（1）若g（x）在x=1處切線過點（0，-5），求b的值
（2）令F（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導公式和法則求g′（x），利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由題意和點斜式方程求出切線方程，把x=1代入求出切點坐標，代入g（x）求出b的值；
（2）求函數(shù)F（x）以及定義域，求出F′（x），利用導數(shù)和極值之間的關系將條件轉(zhuǎn)化：F′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根據(jù)二次方程根的分布問題列出方程組，根據(jù)條件列出關于a的不等式，求出a的范圍．

解答 解：（1）由題意得，$g′（x）=3{x}^{2}+7x+\frac{1}{x}$，
∴g（x）在x=1處切線的斜率k=g′（1）=11，
∵在x=1處切線過點（0，-5），
∴g（x）在x=1處切線方程是：y+5=11x，即y=11x-5，
當x=1時，y=6，則切點的坐標是（1，6），
代入g（x）得，6=1+$\frac{7}{2}$+b，解得b=$\frac{3}{2}$；
（2）由條件得，F(xiàn)（x）=ax-x²-lnx，且x∈（0，+∞），
則F′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵函數(shù)F（x）存在極值，∴F′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a²-8≥0，
顯然當△=0時，F(xiàn)（x）無極值，不合題意；
所以方程必有兩個不等正根．記方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，且F（x₁），F(xiàn)（x₂）是函數(shù)F（x）的兩個極值，
由題意得，F(xiàn)（x₁）+F（x₂）=a（x₁+x₂）-${{（x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}+1-ln\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
化簡解得，a²＞16，滿足△＞0，
又${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{a}{2}＞0$，即a＞0，
∴所求a的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關系，以及二次方程根的分布問題，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力，綜合性大、難度大．