Question

17．用合適的方法證明下面兩個問題：
（1）設a≥b＞0，求證：2a³-b³≥2ab²-a²b；
（2）設a＞0，b＞0，且a+b=10，求證：$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8．

Answer 1

分析 （1）直接利用作差法，然后分析證明即可．
（2）運用分析的解題方法，執(zhí)果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件．分析法執(zhí)果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件，從而使問題得證．

解答 證明：2a³-b³-2ab²+a²b=2a（a²-b²）+b（a²-b²）=（a-b）（a+b）（2a+b），
∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，
從而：（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，
∴2a³-b³≥2ab²-a²b．
（2））∵a＞0，b＞0，且a+b=10，
∴欲證$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8
只需證（$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$）²≤64
只需證$\sqrt{1+3a}$•$\sqrt{1+3b}$≤16，
只需證（1+3a）•（1+3b）≤256
只需證ab≤25．
∵10=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤25，
∴$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8．

點評 本題考查不等式的證明，作差法的應用，運用分析的解題方法，執(zhí)果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件（隱含條件、過渡條件等），由欲知確定需知，求需知利用已知，適時采用由結論到條件的分析方法逆向訓練，有利于養(yǎng)成雙向考慮問題的良好習慣．