Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=CB=1，BA=2，AB∥DC，∠BCD=90°，點(diǎn)E、F、G分別是線段AB、PC、DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：DF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）由已知可證四邊形AECD為平行四邊形，連接AC，可證FG∥PA，即可判定FG∥平面PAB．
（II）先證明PD⊥BC，CD⊥BC，即可證明BC⊥平面PCD，BC⊥DF，由PD=DC，F(xiàn)是線段PC的中點(diǎn)，可證DF⊥PC，即可證明DF⊥平面PBC．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（I）因?yàn)镈C=1，BA=2，AB∥DC，E是線段AB的中點(diǎn)，所以AE∥DC，且AE=DC，所以四邊形AECD為平行四邊形．…（3分）
連接AC，則點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，在△PAC中，
點(diǎn)F、G分別是線段PC、AC的中點(diǎn)，所以FG∥PA，
又，F(xiàn)G?平面PAB，PA?平面PAB 所以FG∥平面PAB…（6分）
（II）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因?yàn)镈F?平面PCD，故BC⊥DF．…（9分）
因?yàn)镻D=DC，F(xiàn)是線段PC的中點(diǎn)，所以DF⊥PC，
又PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，所以DF⊥平面PBC；…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．