Question

18．某班級(jí)藝術(shù)團(tuán)的成員唱歌、跳舞至少擅長一項(xiàng)，已知擅長唱歌的有5人，擅長跳舞的有4人，設(shè)從藝術(shù)社團(tuán)的成員中隨機(jī)選2人，每位成員被選中的概率相等，選出的人中既擅長唱歌又擅長跳舞的人數(shù)為X，且P（X＞0）=$\frac{4}{5}$，求：
（Ⅰ）該班級(jí)藝術(shù)社團(tuán)的人數(shù)；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的均值E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)藝術(shù)社團(tuán)既擅長唱歌又擅長跳舞共有x人，則藝術(shù)社團(tuán)有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅長一項(xiàng)的人數(shù)為（9-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{4}{5}$，建立方程，即可求得藝術(shù)社團(tuán)的人數(shù)；
（Ⅱ）先確定藝術(shù)社團(tuán)有6人，既擅長唱歌又擅長跳舞共有3人，X的可能取值為0，1，2，計(jì)算概率，即可求得數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)藝術(shù)社團(tuán)既擅長唱歌又擅長跳舞共有x人，則藝術(shù)社團(tuán)有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅長一項(xiàng)的人數(shù)為（9-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{4}{5}$，∴1-$\frac{{C}_{9-2x}^{2}}{{C}_{9-x}^{2}}$=$\frac{4}{5}$…（4分）
整理為：19x²-153x+288=0，∴x=3，
∴9-x=6，即藝術(shù)社團(tuán)有6人…（6分）
（Ⅱ）依（Ⅰ）有：藝術(shù)社團(tuán)有6人，既擅長唱歌又擅長跳舞共有3人．
X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$…（10分）
∴EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的概率與期望，解題的關(guān)鍵是正確求出概率，利用期望公式求解．