Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 AB=BC=1，CC₁=2，AC₁與平面 BCC₁B₁所成角為30°，AB⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求證：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求三棱錐A-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC₁，從而可得∠AC₁B=30°，且$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，從而可證明CB⊥平面ABC₁，從而證明；
（Ⅱ）由三棱錐與三棱柱的關(guān)系知，${V_{A-{A_1}{B_1}{C_1}}}={V_{A-B{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△B{C_1}{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，且${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；從而求高．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接BC₁，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠AC₁B=30°．
∵AB=1，
∴$B{C_1}=\sqrt{3}$；
∵BC=1，CC₁=2，
∴$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，
即∠CBC₁=90°．
∵CB⊥AB，CB⊥BC₁，
∴CB⊥平面ABC₁，
∴BC⊥AC₁；
（Ⅱ）解：∵${V_{A-{A_1}{B_1}{C_1}}}={V_{A-B{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△B{C_1}{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
∴三棱錐A-A₁B₁C₁的高H=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的空間想象力與作圖能力的運(yùn)用，同時(shí)考查了體積的運(yùn)算與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．