Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上能否單調遞增？若能，求出實數(shù)a的取值范圍；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）分類討論，利用二次函數(shù)的圖象，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域為R．
當a=0時f（x）=x|x-a|=x|x|，為奇函數(shù)．
當a≠0時，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此時函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）由題意可得，x≥a，f（x）=x²-ax，a≤0，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調遞增；
x＜a，f（x）=ax-x²，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上不可能單調遞增，
綜上，a≤0．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及分段函數(shù)的單調性，考查學生的運算能力．