Question

20．某新開業(yè)的冷飲店為了促銷舉辦買冷飲送套圈活動：每買1元的冷飲送兩次套圈的機(jī)會，套中即送成本價為a元（a＞0）的紀(jì)念杯一個．在一段時間內(nèi)統(tǒng)計的消費(fèi)金額和套中獎杯的個數(shù)之間的數(shù)據(jù)如下表且具有線性相關(guān)關(guān)系：

消費(fèi)金額x元	2	4	6	8	12	15	16
獲得紀(jì)念杯個數(shù)y	1	1	2	3	4	5	5

（Ⅰ）預(yù)計消費(fèi)者在消費(fèi)30元時可獲得的紀(jì)念杯的個數(shù)；
（Ⅱ） 試?yán)�用函�?shù)的單調(diào)性，討論冷飲店的利潤預(yù)期與紀(jì)念杯的成本價a之間的關(guān)系．
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$（其中$\overline x$，$\overline y$分別是x與y的平均數(shù)）
提示：x₁y₁+x₂y₂+…+x₇y₇=245，${x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_7}^2=745$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出線性回歸方程，令x=30，即可預(yù)計消費(fèi)者在消費(fèi)30元時可獲得的紀(jì)念杯的個數(shù)；
（Ⅱ）$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$，討論冷飲店的利潤預(yù)期與紀(jì)念杯的成本價a之間的關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）由題知$\overline x=\frac{2+4+6+8+12+15+16}{7}=9$，$\overline y=\frac{1+1+2+3+5+5+4}{7}=3$
設(shè)線性回歸方程為$\hat y=\hat bx+\hat a$，則$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{28}{89}$
把點(diǎn)（9，3）代入線性回歸方程中可求$\hat a=\frac{15}{89}$
線性回歸方程為$\hat y=\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}$，
令x=30，得$\hat y≈10$
故獲得的紀(jì)念杯的個數(shù)約為10個．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)冷飲店的利潤為z元，
則$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$
當(dāng)$1-\frac{28}{89}a＞0$，即$0＜a＜\frac{89}{28}$時，利潤預(yù)期為遞增；
當(dāng)$1-\frac{28}{89}a=0$，即$a=\frac{89}{28}$時，利潤預(yù)期為常數(shù)$-\frac{15}{28}$，冷飲店虧損；
當(dāng)$1-\frac{28}{89}a＜0$，即$a＞\frac{89}{28}$時，利潤預(yù)期為遞減；…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程及函數(shù)的簡單應(yīng)用，精確的計算是解決本題的關(guān)鍵．