Question

10．通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+2.6x+43（0＜x≤10）}\\{59（10＜x≤16）}\\{-3x+107（16＜x≤30）}\end{array}\right.$
（1）開講多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
（3）一個數(shù)學難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？

Answer 1

分析 （1）通過分別求出當0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16時各自f（x）的最大值即得結(jié)論；
（2）通過計算f（5）與f（20）的大小即得結(jié)論；
（3）通過令f（x）=55，計算出0＜x≤10、x＞16時各自的解并比較兩個解的差的絕對值與13的大小關(guān)系即可．

解答 解：（1）依題意，①當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
故f（x）在0＜x≤10時遞增，最大值為f（10）=-0.1（10-13）²+59.9=59，
②當10＜x≤16時，f（x）≡59，
③當x＞16時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59，
因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．
（2）∵f（5）=-0.1（5-13）²+59.9=53.5，
f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
∴開講5分鐘時學生的接受能力比開講20分鐘時要強一些．
（3）當0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），
當x＞16時，令f（x）=55，解得x=17$\frac{1}{3}$，
因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為17$\frac{1}{3}$-6=11$\frac{1}{3}$＜13，
∴老師來不及在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

點評 本題考查函數(shù)模型的性質(zhì)與應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．