Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（1，4）．
（Ⅰ） 若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行，求k的值；
（Ⅱ） 若向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夾角為銳角，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先得到k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行的坐標(biāo)關(guān)系得到關(guān)于k的等式，解之；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積公式寫出表示向量的夾角為銳角的等價條件．

解答 解：（Ⅰ）依題意得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k，0）+（1，4）=（k+1，4），$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$=（3，8）-------（2分）
∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行
∴8（k+1）-3×4=0，---------------（4分）
解得k=$\frac{1}{2}$--------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k+1，4），$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$=（3，8），
∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行的夾角為銳角
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）=3（k+1）+4×8＞0，且8（k+1）≠3×4--------（8分）
∴k＞-$\frac{35}{3}$且k$≠\frac{1}{2}$------------（10分）

點評 本題考查了平面向量的平行的性質(zhì)以及向量夾角問題；關(guān)鍵是利用坐標(biāo)等價表示向量的位置關(guān)系．