Question

7．若第一象限的點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點(diǎn)在直線2x+y+3=0上，則$\frac{1}{a}+\frac{8}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． $\frac{25}{9}$
• D． $\frac{17}{9}$

Answer 1

分析 先根據(jù)對稱性得到a，b的關(guān)系，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{8}$利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：設(shè)A（a，b）關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點(diǎn)B（x₀，y₀）在直線2x+y+3=0上，
∴線段AB的中點(diǎn)（$\frac{a{+x}_{0}}{2}$，$\frac{b{+y}_{0}}{2}$）在直線x+y-2=0上，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}{+y}_{0}+3=0}\\{{K}_{AB}=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}-a}}\\{\frac{a{+x}_{0}}{2}+\frac{b{+y}_{0}}{2}-2=0}\end{array}\right.$，∴a+2b=9，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{8}$=$\frac{a+2b}{9a}$+$\frac{8a+16b}{9b}$=$\frac{17}{9}$+$\frac{2b}{9a}$+$\frac{8a}{9b}$≥$\frac{17}{9}$+2$\sqrt{\frac{2b}{9a}•\frac{8a}{9b}}$=$\frac{25}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：$\frac{2b}{9a}$=$\frac{8a}{9b}$即b=2a時(shí)“=”成立，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查圖象的對稱性，是一道中檔題．