Question

10．如圖：平面直角坐標系中p（x，y）（y≠0）為一動點，A（-1，0），B（2，0）∠PBA=2∠PAB．
（1）求動點P軌跡E的方程；
（2）過E上任意一P（x₀，y₀）向（x+1）²+y²=1作兩條切線PF、PR，且PF、PR交y軸于M、N，求MN長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得tan∠PBA=$\frac{-y}{x-2}$，tan∠PAB=$\frac{y}{x+1}$，再根據(jù)tan∠PBA=tan2∠PAB=$\frac{2tan∠PAB}{1{-tan}^{2}∠PAB}$，化簡可得點P的軌跡方程．
（2）設(shè)PF斜率為k₁，PR斜率為k₂，求得PF和PR的方程，可得|MN|=（k₁-k₂）x₀|，再根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)，k₁、k₂為 $\frac{{|y}_{0}-k{（x}_{0}+1）|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1的兩個實數(shù)解，即（${{x}_{0}}^{2}$+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+${{y}_{0}}^{2}$-1=0，利用韋達定理可得k₁+k₂ 和k₁•k₂，可得|MN|²=$\frac{4{{[y}_{0}}^{2}{{+x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}]}{{{（x}_{0}+2）}^{2}}$=$\frac{4[{{4x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}-3]}{{{（x}_{0}+2）}^{2}}$，再利用導(dǎo)數(shù)判斷它的單調(diào)性，由單調(diào)性求出|MN|的范圍．

解答 解：（1）由題意可得tan∠PBA=-K_PB=$\frac{-y}{x-2}$，tan∠PAB=K_PA=$\frac{y}{x+1}$，
再根據(jù)∠PBA=2∠PAB，可得tan∠PBA=tan2∠PAB=$\frac{2tan∠PAB}{1{-tan}^{2}∠PAB}$，
即 $\frac{-y}{x-2}$=$\frac{\frac{2y}{x+1}}{1{-（\frac{y}{x+1}）}^{2}}$，化簡可得 3x²-y²=3，即 x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 （x＞1）．
（2）設(shè)PF斜率為k₁，PR斜率為k₂，
則PF：y-y₀=k₁（x-x₀），PR：y-y₀=k₂（x-x₀），
令x=0，可得y_M=y₀-k₁x₀，y_N=y₀-k₂x₀，∴|MN|=（k₁-k₂）x₀|，
由PF和圓相切得：$\frac{|{-k}_{1}{+y}_{0}{{-k}_{1}x}_{0}|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$=1，PR和圓相切得：$\frac{|{-k}_{2}{+y}_{0}{{-k}_{2}x}_{0}|}{\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+1}}$=1，
故：k₁、k₂為 $\frac{{|y}_{0}-k{（x}_{0}+1）|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1的兩個實數(shù)解，
故有：（${{x}_{0}}^{2}$+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+${{y}_{0}}^{2}$-1=0，利用韋達定理可得k₁+k₂=$\frac{{2y}_{0}{（x}_{0}+1）}{{{x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}}$，k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}}$．                             
|MN|²=${{x}_{0}}^{2}$[${{（k}_{1}{+k}_{2}）}^{2}$-4k₁•k₂]=${{x}_{0}}^{2}$[${{（k}_{1}{+k}_{2}）}^{2}$-4k₁•k₂]=$\frac{4{{[y}_{0}}^{2}{{+x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}]}{{{（x}_{0}+2）}^{2}}$，
又∵${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，∴|MN|²=$\frac{4[{{4x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}-3]}{{{（x}_{0}+2）}^{2}}$，
設(shè)g（x₀）=$\frac{4[{{4x}_{0}}^{2}+{2x}_{0}-3]}{{{（x}_{0}+2）}^{2}}$，則g′（x₀）=$\frac{8（{7x}_{0}+5）}{{{（x}_{0}+2）}^{3}}$ （x₀＞1），故g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
當x₀趨于1時，g（x₀）趨于$\frac{4}{3}$；當x₀趨于+∞時，g（x₀）趨于16，故|MN|²∈（$\frac{4}{3}$，16），
故|MN|的范圍為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4）．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，求動點的軌跡方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．