Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＜0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）將a=1代入，求出f′（1）的值，從而求出切線方程；
（2）通過討論a的范圍，求出f′（x）的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解　f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，（x＞0），
（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，f′（1）=-2，
∴所求的切線方程為y-f（1）=-2（x-1），即4x+2y-3=0．
（2）①當(dāng)-a=2，即a=-2時，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{x}$≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-a＜2，即-2＜a＜0時，∵0＜x＜-a或x＞2時，f′（x）＞0；-a＜x＜2時，f′（x）＜0，
f（x）在（0，-a），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，2）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)-a＞2，即a＜-2時，∵0＜x＜2或x＞-a時，f′（x）＞0；
2＜x＜-a時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（2，-a）上單調(diào)遞減，
綜上a=-2時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
-2＜a＜0時，f（x）在（0，-a），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，2）上單調(diào)遞減，
a＜-2時，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（2，-a）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．