Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．
（1）若以線段AB，AC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形ABDC，求線段AD的長；
（2）已知平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow$=（1，5+t）（其中t∈R），求函數(shù)f（t）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$取最小值時(shí)向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）利用向量的平行四邊形法則可得：$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，再利用向量的模的計(jì)算公式即可得出．
（2）平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$=（-t，t）．函數(shù)f（t）=（t+2）²-4，當(dāng)t=-2時(shí)，f（t）取得最小值，此時(shí)：$\overrightarrow{a}$=（2，-2），$\overrightarrow$=（1，7）．利用向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（3，5），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1），
∵以線段AB，AC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形ABDC，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（2，6）．
∴$|\overrightarrow{AD}|$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{10}$．
（2）平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$=（-t，t）．
函數(shù)f（t）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-t+t（5+t）=t²+4t=（t+2）²-4，
當(dāng)t=-2時(shí)，f（t）取得最小值，
此時(shí)：$\overrightarrow{a}$=（2，-2），$\overrightarrow$=（1，3）．
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-4}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、向量的投影，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．