Question

7．若對任意的x＞1，x²+3≥a（x-1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是6．

Answer 1

分析 運(yùn)用參數(shù)分離法，化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式求出左側(cè)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：對任意的x＞1，x²+3≥a（x-1）恒成立，即為a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$，
由$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號成立．（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min=6，
對任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$≥a恒成立，
就是a≤（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min=6，
即a的最大值是6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．