Question

11．設P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一點，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）為左、右焦點，△PF₁F₂周長為6c，面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 不妨設P在右支上，由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，再由條件分別求得△PF₁F₂三邊長，運用三角形的海倫面積公式，結合離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：不妨設P在右支上，則PF₁-PF₂=2a，
又PF₁+PF₂+F₁F₂=6c，即PF₁+PF₂=4c，
解得PF₁=a+2c，PF₂=2c-a，
由海倫面積公式可得，△PF₁F₂的面積為
S_△=$\sqrt{3c（3c-2c）（3c-a-2c）（3c-2c+a）}$=$\sqrt{3{c}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}$，
由題意可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²=$\sqrt{3{c}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}$，
兩邊平方可得，9c⁴-9a²c²-4a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得，9e⁴-9e²-4=0，
解得e²=$\frac{4}{3}$，即有e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要考查離心率的求法，同時考查三角形的面積公式的運用，屬于中檔題..