Question

12．已知圓F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，定點F2（$\sqrt{3}$，0），動l圓M過點F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點，A、B、C是軌跡M上的三個點，當(dāng)點B不落在坐標(biāo)軸上時，試判斷四邊形OABC是否可能為菱形，井說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M的半徑，依據(jù)題意列出關(guān)系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標(biāo)滿足$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r²-1，從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．

解答 解：（1）設(shè)圓M的半徑為r．
因為圓過點F₂，且與圓F₁相內(nèi)切，所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，
其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以a=2，b=1，
所以曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，
設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x²+y²=r²與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的公共點，解之得$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r²-1．
設(shè)A、C兩點橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，可得A、C兩點的橫坐標(biāo)滿足：
x₁=x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，或x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
①當(dāng)x₁=x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；
②若x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，則x₁+x₂=0，
可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC，
綜上所述，可得當(dāng)點B不落在坐標(biāo)軸上時，四邊形OABC不可能為菱形．

點評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，橢圓的定義，考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．