Question

16．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面EAD是正三角形，平面EAD⊥平面ABCD為正方形，P為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：EA∥平面PBD；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，求三棱錐E-PBD的體積及點(diǎn)P到平面EBD的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，與BD交于點(diǎn)O，連接OP，則O是AC的中點(diǎn)，OP∥AE，即可證明EA∥平面PBD；
（2）三棱錐E-PBD的體積=三棱錐E-BCD的體積-三棱錐P-BDC的體積，利用體積公式，可求點(diǎn)P到平面EBD的距離．

解答 （1）證明：如圖，連結(jié)AC，與BD交于點(diǎn)O，連接OP，則O是AC的中點(diǎn)，
又P為EC的中點(diǎn)，∴OP∥AE．
又∵AE?平面PBD，OP?PBD，
∴EA∥平面PBD；
（2）解：三棱錐E-PBD的體積=三棱錐E-BCD的體積-三棱錐P-BDC的體積
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
△EBD中，ED=2，BD=2$\sqrt{2}$，EB=2$\sqrt{2}$，
∴S_△EBD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
設(shè)P到平面EBD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×h$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查三棱錐的體積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．