Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x（1+λx）}{1+x}$．若x≥0時(shí)，f（x）≤0，求λ的最小值．

Answer 1

分析 由于已知函數(shù)的最大值是0，故可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性，確定出函數(shù)的最大值，利用最大值小于等于0求出參數(shù)λ的取值范圍，即可求得其最小值．

解答 解：由已知，f（0）=0，f′（x）=$\frac{（1-2λ）x-{λx}^{2}}{{（1+x）}^{2}}$，且f′（0）=0，
若λ＜$\frac{1}{2}$，則當(dāng)0＜x＜2（1-2λ）時(shí)，f′（x）＞0，所以當(dāng)0＜x＜2（1-2λ）時(shí)，f（x）＞0，
若λ≥$\frac{1}{2}$，則當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≤0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤0，
綜上，λ的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．