Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$），求函數(shù)g（x）=f（x）+sinx在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（x）+sinx=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+sinx
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x+sinx=$\frac{1}{4}$（1-sin²x）-$\frac{3}{4}$sin²x+sinx
=-sin²x+sinx+$\frac{1}{4}$=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
由二次函數(shù)可知當sinx=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值$-\frac{1}{2}$，
當sinx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及和差角的三角函數(shù)公式和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．