Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，如果不等式f（ax²+x-2）＜f（x²-x+1）對(duì)于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)的單調(diào)性可得ax²+x-2＜x²-x+1，即a＜1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$對(duì)于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，運(yùn)用配方求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
f（ax²+x-2）＜f（x²-x+1）即為
ax²+x-2＜x²-x+1，
即a＜1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$對(duì)于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，
由y=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=-3（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
0＜$\frac{1}{x}$≤$\frac{2}{3}$，為函數(shù)y的減區(qū)間，
可得y的最小值為-3（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$=-$\frac{5}{3}$，
即有a＜-$\frac{5}{3}$．
故實(shí)數(shù)a的范圍是（-∞，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．