Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$．
（1）若m=2，求f（x）的最值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）已知A，B是f（x）圖象上二個(gè)不同的極值點(diǎn)，設(shè)直線AB的斜率為k，求證：k＞-1．

Answer 1

分析 （1）將m=2代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的最值；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$＞${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$（-$\frac{1}{4}$＜x≤0）成立即可，令g（m）=$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$，h（m）=${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，只需證g（m）_min＞h（m）_max即可，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出它們的最值，從而問(wèn)題得證．

解答 解：（1）m=2時(shí)，f（x）=lnx-x-$\frac{2}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{2}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-2）（x+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴函數(shù)f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（2）=ln2-3；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{-（x-\frac{1}{2}）}^{2}+m+\frac{1}{4}}{{x}^{2}}$，
①m≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減，
②-$\frac{1}{4}$＜m≤0時(shí)，0＜m+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$＜x＜$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，或x＞$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$），（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，+∞）遞減，在（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$）遞增，
③m＞0時(shí)，$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，+∞）遞減，在（0，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$）遞增；
（3）若A，B是f（x）圖象上二個(gè)不同的極值點(diǎn)，
由（2）②得：-$\frac{1}{4}$＜m≤0，
不妨設(shè)A是極小值點(diǎn)，B是極大值點(diǎn)，設(shè)x₁=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，x₂=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
則A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$，而x₂-x₁=2$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$，
∴y₂-y₁=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+（x₁-x₂）+m$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$=ln$（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）$，
∴k=$\frac{ln（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）}{2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，
要證k＞-1，只需證ln$（\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}）$＞-2$\sqrt{m+\frac{1}{4}}$即可，
只需證$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$＞${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，（-$\frac{1}{4}$＜x≤0），
令g（m）=$\frac{\frac{1}{2}+m+\sqrt{m+\frac{1}{4}}}{-m}$，h（m）=${e}^{-2\sqrt{m+\frac{1}{4}}}$，
只需證g（m）_min＞h（m）_max即可，
顯然函數(shù)g（m）在（-$\frac{1}{4}$，0]上單調(diào)遞增，∴g（m）_min＞g（-$\frac{1}{4}$）=1，
而h（m）在（-$\frac{1}{4}$，0]上單調(diào)遞減，∴h（m）_max＜h（-$\frac{1}{4}$）=e⁰=1，
∴g（m）＞h（m），
∴k＞-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，本題計(jì)算復(fù)雜，考查運(yùn)算能力．