Question

4．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的極大值和極小值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，f′（-1）=0，即可求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而得到函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{3}{2}$，1]上的極大值和極小值；
（2）由于函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，得到f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，再由△≥0，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2，
∴f′（x）=3x²+4x+1=3（x+$\frac{1}{3}$）（x+1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＜0，得：-1＜x＜-$\frac{1}{3}$，
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-$\frac{3}{2}$，-1），（-$\frac{1}{3}$，1）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，-$\frac{1}{3}$），
f（x）在x=-1取得極大值為f（-1）=2；f（x）在x=-$\frac{1}{3}$取得極小值為f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{50}{27}$，
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f′（x）=3x²+2ax+1，
∵函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，
∴△=4a²-12≥0，∴a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$，
因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．