Question

1．橢圓C的中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C的兩個焦點及短軸的兩個端點恰是一個面積為8的正方形的四個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線y=kx+b與橢圓C恒有兩個橫坐標不同的交點A、B，
①寫出滿足上述要求的充要條件（用含k、b的式子表示）；
②若線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過題意可知b=c、a²=8，進而可得結(jié)論；
（2）①通過聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得關(guān)于x的一元二次方程，只需根的判別式大于0，計算即可：
②通過垂直平分線的性質(zhì)易知|PA|=|PB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²，利用點A、B在橢圓上及-$2\sqrt{2}$≤x₁、x₂≤$2\sqrt{2}$且x₁≠x₂，代入計算即可．

解答 解：（1）依題意，設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
焦距為2c，由題設條件知a²=8，b=c，
∴b²=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$a²=4，
故橢圓C的方程式為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）①聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
∵直線y=kx+b與橢圓C恒有兩個橫坐標不同的交點A、B，
∴△=（4kb）²-4（1+2k²）（2b²-8）＞0，
整理得：4+8k²＞b²，
即直線y=kx+b與橢圓C恒有兩個橫坐標不同的交點的充要條件是4+8k²＞b²；
②若線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x₀，0），求x₀的取值范圍．
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．
∵線段AB的垂直平分線與x軸相交，
∴AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．
又∵交點為P（x₀，0），
∴|PA|=|PB|，即
（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂² （*）
∵A、B在橢圓上，
∴${{y}_{1}}^{2}$=4-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$，${{y}_{2}}^{2}$=4-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$，
代入（*）式得：2（x₂-x₁）x₀=$\frac{1}{2}$（${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$），
∵x₁≠x₂，
∴x₀=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∵-$2\sqrt{2}$≤x₁、x₂≤$2\sqrt{2}$，且x₁≠x₂，
∴-$4\sqrt{2}$＜x₁+x₂＜$4\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．