Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）當x≥1時，比較lnx與x²-x的大小關(guān)系，并證明：$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$＞$\frac{2015}{n（n+2015）}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）通過對$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$變形可得2S_n=na_n+1-$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，進而2S_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$，兩式相減整理即得結(jié)論；
（2）通過記f（x）=x²-x-lnx且求導(dǎo)可知f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，進而0＜lnx≤x²-x，利用a_n=n可知$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$，并項相加、放縮即可．

解答 證明：（1）∵$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$，
∴2S_n=na_n+1-$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，
2S_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$，
兩式相減得：2a_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$-na_n+1+$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，
整理得：（n+2）a_n+1=（n+1）a_n+2-（n+1）（n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-1，即$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=1+（n-1）=n；
（2）記f（x）=x²-x-lnx，則f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$，
∵x≥1時，
∴f′（x）≥0，即f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=1-1-0=0，
∴0＜lnx≤x²-x；
∴$\frac{1}{lnx}$≥$\frac{1}{{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$，
又∵a_n=n，
∴$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$，
∴$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$＞2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+2014}$-$\frac{1}{n+2015}$）
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2015}$）
=2•$\frac{2015}{n（n+2015）}$
＞$\frac{2015}{n（n+2015）}$，n∈N^*．

點評 本題考查等差關(guān)系的確定，涉及函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．