Question

15．已知m、n∈N^*，求證：$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}$-$\sqrt{mn（mn+2）}$≥3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 會(huì)發(fā)現(xiàn)，m=n=1時(shí)，要證的不等式的等號(hào)成立，從而可考慮用函數(shù)的單調(diào)性來證明：先根據(jù)基本不等式，$（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4≥mn+4\sqrt{mn}+4$，從而得到$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}$$≥\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$，這樣可令$\sqrt{mn}=t$，t≥1．從而可以得到$\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，可設(shè)$f（t）=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，然后可通過求導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，這樣便可得出f（t）$≥3-\sqrt{3}$，這樣便可得出要證明的不等式成立．

解答 解：（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4≥mn$+4\sqrt{mn}+4$，m=n時(shí)取“=”；
∴$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}$$≥\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$，令$\sqrt{mn}=t$，t≥1；
∴$\sqrt{mm+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$=$\sqrt{mn}+2-\sqrt{mn+2}=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，設(shè)$f（t）=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}，t≥1$；
∴$f′（t）=1-\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+2}}$；
$t＜\sqrt{{t}^{2}+2}$；
∴$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+2}}＜1$；
∴f′（t）＞0；
∴f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$f（t）≥f（1）=3-\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}≥3-\sqrt{3}$，m=n=1時(shí)取“=”；
∴$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}≥3-\sqrt{3}$，m=n=1時(shí)取“=”；
∴$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn（mn+2）}$$≥（3-\sqrt{3}）mn≥3-\sqrt{3}$，當(dāng)m=n=1時(shí)取“=”；
即$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn（mn+2）}≥3-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，不等式的性質(zhì)．