Question

20．在四棱錐C-ABDE中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，DB⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE．
（1）求證：EF⊥平面BCD；
（2）求面CED與面ABC所成的二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AE=1，以AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF⊥平面BCD．
（2）求出平面CED的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出面CED與面ABC所成的二面角（銳角）的大�。�

解答 （1）證明：設(shè)AE=1，以AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（0，0，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，2），
E（0，0，1），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}$，1），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BD}$=0，
∴EF⊥CD，EF⊥BD，
∵CD?平面BCD，BD?平面BCD，CD∩BD=D，
∴EF⊥平面BCD．
（2）設(shè)平面CED的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面CED與面ABC所成的二面角（銳角）的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{4}$，
∴面CED與面ABC所成的二面角（銳角）的大小為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．