Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-k+lnx}{x}$，k∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[1，2]使lnx₁＞x₁x₂²-ax₁x₂成立，求a的取值范圍；
（3）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求證：（x₁-x₂）${\;}^{{x}_{1}{x}_{2}}$＞（x₁x₂）${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）分離參數(shù)可得a＞x2-再分類討論，求出右邊的最小值，即可求得a的取值范圍；
（3）只需要證明x₁+x₂＞x₁x₂，即可證得（$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{{x}_{1}{x}_{2}}$＞${（x}_{1}{x}_{2}）^{{x}_{1}+{x}_{2}}$．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1+k-lnx}{{x}^{2}}$．
令f'（x）=0，得x=e^1+k．
在區(qū)間（0，e^1+k）上，f'（x）＞0，f（x）遞增；
在區(qū)間（e^1+k，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）遞減；
故f（x）的極值為f（e^1+k）=$\frac{-k+1+k}{{e}^{1+k}}$=e^-1-k；
（2）lnx₁＞x₁x₂²-ax₁x₂成立．
∴a＞x₂-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
當(dāng)$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$＞0即x₁∈（1，+∞）時(shí)，y=x-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}x}$在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴?x₂∈[1，2]使lnx₁＞x₁x₂²-ax₁x₂成立等價(jià)于a＞1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴a＞1；
當(dāng)$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$≤0即x₁∈（0，1）時(shí)，y=x-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}x}$在x=$\sqrt{-\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}}$時(shí)，取得最小值y=0，
∴a＞0，
綜上可得a的范圍為a＞1；
（3）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知f（x）=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{ln（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$即ln（x₁+x₂）x₁＞lnx₁（x₁+x₂）   ①，
同理ln（x₁+x₂）x₂＞lnx₂（x₁+x₂）②
兩式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂
∴（$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{{x}_{1}{x}_{2}}$＞${（x}_{1}{x}_{2}）^{{x}_{1}+{x}_{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，分離參數(shù)方法的綜合應(yīng)用和利用題中已證結(jié)論證明不等式問(wèn)題．