Question

7．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N）．求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式變形可得a_n+1+1=2（a_n+1），分析可得數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，公比q=2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，變形可得a_n=2ⁿ-1，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若a_n+1=2a_n+1（n≥1），則有a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1），
即a_n+1+1=2（a_n+1），（n≥1），
即數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，公比q=2的等比數(shù)列，
則a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
故a_n=2ⁿ-1，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ-1．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，注意構(gòu)造法的合理運用，找到a_n+1與a_n之間的關(guān)系．