Question

19．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）為橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓T上的任意一點(diǎn)，A是橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值是（　�。�

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 通過將點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程，結(jié)合離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$計(jì)算可得橢圓方程，進(jìn)而利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，利用配方法求最值即得結(jié)論．

解答 解：依題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓T方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
則A（-2，0），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)P（x，y），記t=$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
則t=（-2-x，-y）•（-$\sqrt{3}$-x，-y）+（-2-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）
=（2+x）（$\sqrt{3}$+x）+y²+（2+x）（x-$\sqrt{3}$）+y²
=2x（x+2）+2y²
=2x²+4x+2y²
=2x²+4x+2（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$）
=$\frac{3}{2}$x²+4x+2
=$\frac{3}{2}$$（x+\frac{4}{3}）^{2}$-$\frac{2}{3}$，
又∵-2≤x≤2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，t取最大值，且t_max=$\frac{3}{2}$•$（2+\frac{4}{3}）^{2}$-$\frac{2}{3}$=16，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及橢圓方程，向量數(shù)量積，配方法求最值問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．