Question

如圖，在四棱錐中，⊥平面，，

．

(1)求證：；

(2)求點到平面的距離．

Answer 1

（1）因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD．

因為PC平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：

易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于．

（方法二）體積法：連結(jié)AC．設(shè)點A到平面PBC的距離為h．

因為AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰．

從而AB=2，BC=1，得的面積．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積．

因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積．

由，，得，故點A到平面PBC的距離等于．