Question

12．正四面體ABCD中，棱AB與底面BCD所成角在余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 在正四面體ABCD中，過A作AH⊥平面BCD于點H，則H為底面正三角形BCD的外心，連接BH，則∠ABH=α，就是AB與平面BCD所成角，解直角三角形ABH即可．

解答 解：正四面體ABCD，高為AH，
則H為底面正三角形BCD的外心，則∠ABH=α，就是AB與平面BCD所成角，
在Rt△ABH中，設棱長為a，
則BH=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，AH=$\sqrt{{a}^{2}-（{\frac{\sqrt{3}}{3}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
∴cosα=$\frac{HB}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查直線和平面所成的角，關鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．