Question

設(shè)函數(shù)，a、b，x=a是的一個(gè)極大值點(diǎn)．

（1）若，求b的取值范圍；

（2）當(dāng)a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)b，可找到，使得的某種排列（其中）依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：（1）時(shí)，，

，……1分

令，，

可設(shè)是的兩個(gè)根，……………………………………2分

①當(dāng)或時(shí)，則不是極值點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)且時(shí)，由于是的極大值點(diǎn)，

故，即，故b的取值范圍是. ……5分

(2)，

令，

則，于是，假設(shè)是的兩個(gè)實(shí)根，且

由（1）可知，必有，且是的三個(gè)極值點(diǎn)，

則，. ……6分

假設(shè)存在及滿足題意，不妨只考慮公差大于零的情形，即：

①當(dāng)排列為或，則，即時(shí)，[]

于是或

即

或……………………8分

②當(dāng)排列為或，則或

(i)若，于是，

即兩邊平方得，

于是，從而，

此時(shí)………10分

(ii)若，于是，

即兩邊平方得，

于是，從而

此時(shí)

綜上所述，存在b滿足題意，當(dāng)b=－a－3時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.