Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作角α和β，$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，其終邊分別交單位圓于A，B兩點(diǎn)．若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是$\frac{3}{5}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$． 試求
（1）tanα，tanβ的值；
（2）∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求tanα，tanβ的值；
（2）∠AOB=β-α，利用兩角和差的正切公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由條件知cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
則tanα=$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4}{3}$，tanβ=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=-7；
（2）∵∠AOB=β-α，
∴tan∠AOB=tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$=$\frac{-7-\frac{4}{3}}{1+（-7）×\frac{4}{3}}$=$\frac{-25}{-25}=1$，
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴0＜β-α＜π，
則β-α=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．