Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{3（t+1）}{2}{x^2}+3tx+1$（t＞0）．
（1）若t=2，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若f（x）≤xe^x-m（e≈2.718）對任意的x∈[0，+∞）恒成立時m的最大值為-1，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由t=2，化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點，判斷單調(diào)性如此極大值．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點，通過①當(dāng)t≥2時，②當(dāng)1＜t＜2時，③當(dāng)0＜t＜1時，④當(dāng)t=1時，分別求解x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值．推出t的取值范圍．
（3）由題意轉(zhuǎn)化條件為$m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{3（t+1）}{2}{x^2}-3tx-1=x[{e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t]-1$對任意的x≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t$，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出新函數(shù)的最小值，然后求解t的取值范圍．

解答 解：（1）若t=2，則$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x+1$，
所以，f′（x）=3x²-9x+6，令f′（x）=0，得x=1，2；
令f′（x）＜0，得1＜x＜2，
所以，f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)遞減，在區(qū)間（-∞，1），（2，+∞）內(nèi)遞增，
得f（x）的極大值為$f（1）=\frac{7}{2}$…4'
（2）函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{3（t+1）}{2}{x^2}+3tx+1$．
得f′（x）=3x²-3（t+1）x+3t=3（x-1）（x-t），t＞0．
令f′（x）=0，得x=1，t；…6'
①當(dāng)t≥2時，可以判定f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)遞增，在區(qū)間（1，2）內(nèi)遞減，
此時，不存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值；
②當(dāng)1＜t＜2時，可以判定f（x）在區(qū)間（0，1）、（t，2）內(nèi)遞增，在區(qū)間（1，t）內(nèi)遞減，
欲存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值，
則必須有f（t）≤f（0），即${t^3}-\frac{3（t+1）}{2}{t^2}+3{t^2}+1≤1$，解得t≥3，不合題意，舍去．
③當(dāng)0＜t＜1時，可以判定f（x）在區(qū)間（0，t）、（1，2）內(nèi)遞增，在區(qū)間（t，1）內(nèi)遞減，
欲存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值，
則必須有f（1）≤f（0），即$\frac{3t+1}{2}≤1$，解得$t≤\frac{1}{3}$，所以，$0＜t≤\frac{1}{3}$．
④當(dāng)t=1時，可以判定f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)遞增，
不存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值．
綜上所述，得t的取值范圍為$（0，\frac{1}{3}]$…10'
（3）若f（x）≤xe^x-m（e為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意的x∈[0，+∞）恒成立，
即 $m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{3（t+1）}{2}{x^2}-3tx-1=x[{e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t]-1$對任意的x≥0恒成立，…11'
令$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t$，由于m的最大值為-1，
所以$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t≥0$恒成立…12'
由g（0）=1-3t≥0可得$0＜t≤\frac{1}{3}$，
當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{3}$時，$g'（x）={e^x}-2x+\frac{3（t+1）}{2}$，
再設(shè)$h（x）=g'（x）={e^x}-2x+\frac{3（t+1）}{2}$，得h′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．h（x）在區(qū)間（0，ln2）內(nèi)遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）內(nèi)遞增，h（x）的最小值為$h（ln2）=2+\frac{3（t+1）}{2}-2ln2$，可以判定h（ln2）＞0，
即g′（x）＞0，所以g（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)遞增，
則有g(shù)（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的最小值g（0）=1-3t≥0，得$t≤\frac{1}{3}$．
所以，t的取值范圍是$（0，\frac{1}{3}]$…16'

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．