Question

2．設a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=4，ax+by+cz=2，則$\frac{a+b+c}{x+y+z}$（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)所給“積和結構”條件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等號成立的條件即可．

解答 解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{4}$z²）≥（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$by+$\frac{1}{2}$cz）²，
當且僅當$\frac{a}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}y}=\frac{c}{\frac{1}{2}z}$時等號成立
∵a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=4，ax+by+cz=2，
∴（a²+b²+c²）（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{4}$z²）≥（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$by+$\frac{1}{2}$cz）²中等號成立，
∴一定有：$\frac{a}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}y}=\frac{c}{\frac{1}{2}z}$，
∴$\frac{a+b+c}{x+y+z}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C

點評 柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．