Question

12．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）若AB=$\sqrt{2}$，求點A到平面BCE的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=G，連接GF．由BF⊥面ACE，得到BF⊥CE，再由BE=BC，得到F為EC的中點．在矩形ABCD中，G為AC中點，由三角形的中位線可得到GF∥AE．再由線面平行的判定定理得證．
（2）證明AE⊥平面BCE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)AC∩BD=G，連接GF．
因為BF⊥面ACE，CE?面ACE，所以BF⊥CE．
因為BE=BC，所以F為EC的中點．
在矩形ABCD中，G為AC中點，所以GF∥AE．
因為AE?面BFD，GF?面BFD，所以AE∥面BFD．
（2）解：因為BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以BF⊥AE，
因為DA⊥平面ABE，CB∥DA，AE?平面ABE，
所以AE⊥BC，
因為BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE，
所以AE⊥BE，
因為AB=$\sqrt{2}$，
所以AE=1，
即點A到平面BCE的距離為1．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力．