Question

12．若實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，則$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{{（b-d）}^2}}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，可得b+a²-3lna=0，c-d+2=0．分別設(shè)y=f（x）=3lnx-x²（x＞0），y=x+2．設(shè)直線y=x+2與曲線y=3lnx-x²（x＞0）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率、切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，c-d+2=0．
分別設(shè)y=f（x）=3lnx-x²（x＞0），y=x+2．
設(shè)直線y=x+2與曲線y=3lnx-x²（x＞0）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）．
則f′（x）=$\frac{3}{x}-2x$，f′（x₀）=$\frac{3}{{x}_{0}}$-2x₀=1，解得x₀=1，∴y₀=-1．
∴P（1，-1）．
∴點(diǎn)P到直線y=x+2的距離d=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
則$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{{（b-d）}^2}}$的最小值為$2\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題．