Question

7．設函數(shù)f（x）=x²lnx，$g（x）=\frac{x}{e^x}$，若存在x₁∈[e，e²]，x₂∈[1，2]，使得e³（k²-2）g（x₂）≥kf（x₁）成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則正實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． k≥2
• B． 0＜k≤2
• C． $k≥\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$
• D． $0＜k≤\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，求得f（x）在[e，e²]的最小值，求出g（x）的導數(shù)，判斷g（x）在[1，2]的單調(diào)性，求得最大值，由存在性的結(jié)論可得e³（k²-2）g（x₂）_max≥kf（x₁）_min，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=x²lnx的導數(shù)為f′（x）=2xlnx+x，
當x∈[e，e²]，f′（x）＞0，f（x）在[e，e²]遞增，
即有f（e）為最小值，且為e²；
$g（x）=\frac{x}{e^x}$的導數(shù)為g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當x∈[1，2]，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]遞減，
即有g（1）取得最大值，且為$\frac{1}{e}$．
由題意可得e³（k²-2）g（x₂）_max≥kf（x₁）_min，
即為e²（k²-2）≥ke²，
由k²-k-2≥0，
結(jié)合k＞0，可得k≥2．
故選A．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，注意不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．