Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)點P在線段CC₁上，直線BP與平面A₁BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{2}}{2}$，1]

Answer 1

分析 設(shè)正方體的棱長等于1，建立如圖空間直角坐標系，得出D、B、C₁、A₁各點的坐標，從而得出$\overrightarrow{{BC}_{1}}$、$\overrightarrow{{A}_{1}D}$、$\overrightarrow{BD}$ 的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出平面A₁BD的一個法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，利用向量的夾角公式算出sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{n}$＞|的值，即得直線BP與平面A₁BD所成角的正弦值，根據(jù)直線BP與平面A₁BD所成角的正弦值的平方的范圍，從而得到sinθ的取值范圍．

解答 解：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立如圖
所示空間直角坐標系，
設(shè)正方體的棱長等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
A₁（1，0，1），
∴$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁BD的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=z=-1，
∴平面A₁BD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．
設(shè)直線BP與平面A₁BD所成角為θ，θ∈（ 0，$\frac{π}{2}$]，
設(shè)P（0，1，m），則由題意可得m∈[0，1]，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}•\sqrt{3}}$|=$\frac{m+1}{\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
sin²θ=$\frac{{m}^{2}+2m+1}{3{（m}^{2}+1）}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
故sin²θ≥$\frac{1}{3}$，sin²θ≤$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{m}{2m}$=$\frac{2}{3}$，即sin²θ∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
∴sinθ∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故選：A．

點評 本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．