Question

12．已知拋物線 C：y²=2px（p＞0），過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線m交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為$2\sqrt{7}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l交拋物線C于F、G兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)$\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}$，試問(wèn)λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直線m的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為$2\sqrt{7}$，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2與y²=4x，聯(lián)立得k²x²+（4k-4）x+4=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}$，可得λ₁+λ₂為定值．

解答 解：（1）由已知：直線m的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，
得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，|AB|=x₁+x₂+p=4p
且線段AB的中點(diǎn)為（$\frac{3p}{2}$，p），…（3分）
由已知7+$\frac{9{p}^{2}}{4}$=4p²，
解得p=2或p=-2（舍去），
所以拋物線C的方程為：y²=4x；…（6分）
（2）設(shè)直線l：y=kx+2與y²=4x，聯(lián)立得k²x²+（4k-4）x+4=0
設(shè)F（x₃，y₃），G（x₄，y₄）
則${x_3}+{x_4}=\frac{{4-4{k^2}}}{k^2}，{x_3}{x_4}=\frac{4}{k^2}$…（8分）
$\begin{array}{l}\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}⇒（{x_3}，{y_3}-2）={λ_1}（-\frac{2}{k}-{x_3}，-{y_3}）；\\ \overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}⇒（{x_4}，{y_4}-2）={λ_2}（-\frac{2}{k}-{x_4}，-{y_4}）；\end{array}$
所以${λ_1}=\frac{x_3}{{-\frac{2}{k}-{x_3}}}=-\frac{{k{x_3}}}{{k{x_3}+2}}，{λ_2}=-\frac{{k{x_4}}}{{k{x_4}+2}}$，…（10分）
則${λ_1}+{λ_2}=-\frac{{k{x_3}}}{{k{x_3}+2}}-\frac{{k{x_4}}}{{k{x_4}+2}}=-\frac{{2{k^2}{x_3}{x_4}+2k（{x_3}+{x_4}）}}{{{k^2}{x_3}{x_4}+2k（{x_3}+{x_4}）+4}}$，
將${x_3}+{x_4}=\frac{{4-4{k^2}}}{k^2}，{x_3}{x_4}=\frac{4}{k^2}$代入上式得-1＜x＜0，
即∠APC為定值-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．