Question

9．設(shè)f（x）=ae^x+$\frac{1}{{a{e^x}}}$+b（a＞0）
（ I） 設(shè)曲線y=f（x）在點（2，f（2））的切線方程為y=$\frac{3}{2}$x；求a，b的值．
（ II）求f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件列出方程組，求出a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)t=e^x（t≥1），代入原函數(shù)化簡并求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)臨界點和區(qū)間對a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、基本不等式求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（I）由題意得，$f（x）=a{e}^{x}+\frac{1}{a{e}^{x}}+b$，則$f′（x）=a{e}^{x}-\frac{1}{a{e}^{x}}$，
因為在點（2，f（2））的切線方程為y=$\frac{3}{2}$x，所以$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+\frac{1}{a{e}^{2}}+b=3}\\{a{e}^{2}-\frac{1}{a{e}^{2}}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{{e}^{2}}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）設(shè)t=e^x（t≥1），則原函數(shù)化為：$y=at+\frac{1}{at}+b$，
所以$y′=a-\frac{1}{a{t}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{t}^{2}-1}{a{t}^{2}}$，
令y′=0，解得t=$±\frac{1}{a}$，
（1）當(dāng)a≥1時，則y′＞0在[1，+∞）上成立，
所以函數(shù)$y=at+\frac{1}{at}+b$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則當(dāng)t=1（x=0）時，函數(shù)f（x）取到最小值是$a+\frac{1}{a}+b$；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，$y=at+\frac{1}{at}+b$≥2+b，
當(dāng)且僅當(dāng)at=1（t=e^x=$\frac{1}{a}$＞1，則x=-lna）時，取等號，
此時函數(shù)f（x）取到最小值是b+2，
綜上可得，當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的最小值是$a+\frac{1}{a}+b$；
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的最小值是b+2．…（12分）

點評 本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、基本不等式求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．