Question

5．一個圓錐的底面半徑為2cm，高為4cm，其中有一個高為xcm的內接圓柱：
（1）求圓錐的側面積；
（2）當x為何值時，圓柱側面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，求出圓錐的母線長，即可求圓錐的側面積；
（2）根據(jù)軸截面和比例關系列出方程，求出圓柱的底面半徑，表示出圓柱的側面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出側面面積的最大值．

解答 解：（1）圓錐的母線長$l=\sqrt{{R^2}+{h^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$
∴圓錐側面積S₁=πRl=4$\sqrt{5}$cm²；（6分）
（2）設內接圓柱的底面半徑為r，由圖形特征知，$\frac{x}{4}=\frac{2-r}{2}$，∴x=4-2r（8分）
圓柱側面積S=2πrx=2r（4-2r）π=（-4r²+8r）π=-4（r-1）²π+4π（cm²）
∴r=1，即x=2時，圓柱的側面積最大，最大為4πcm²．（14分）

點評 本題的考點是棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積，關鍵是利用軸截面，求出長度之間的關系式，表示出面積后利用函數(shù)的思想求出最值，考查了數(shù)形結合思想和函數(shù)思想．